与兔子相关的三个数学问题

作者:妮谚

更新时间:2023-01-23 18:00:10

图为“龟兔赛跑”悖论示意图 苏 靓 绘

1月21日就是大年三十,也即老百姓常说的除夕。过了这一天,虎年辞去,兔年来临。兔年话兔,文坛习俗,我也免不了俗,就谈谈三个与兔子相关的数学问题吧。


(资料图)

“鸡兔同笼”问题

“鸡兔同笼”是中国古代著名的数学趣题之一,载于大约公元四、五世纪成书的《孙子算经》。书中写道:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”翻译成白话文就是:“有若干只鸡和兔关在同一个笼子里,从上面数有35个头,从下面数有94只脚。问笼子里有鸡和兔各几只?”

《孙子算经》作者给出了“上置”“下置”两种解法,后人则找到了更多的有趣解法,如“假设法”“抬腿法”“砍腿法”“吹哨法”“列表法”“矩阵法”“鸡翅法”等等。

如“假设法”:假设兔和鸡都只有2条腿,则笼子里一共应该有35×2=70条腿,而兔子实际有4条腿,每只兔比鸡多出2条腿,由多出的94-70=24条腿可知,笼子里共有24÷2=12只兔,因此鸡有35-12=23只。

当然,如果你是一位初中生,运用代数方程组求解,问题那就再简单不过了。“鸡兔同笼”还可演进为变量不是整数或变量不止2个的几十种同类问题,解题虽复杂一些,但思路却大致相同。通过运用不同的方法解答不同的“鸡兔同笼”问题,无疑可提高青少年在逻辑推理、数理演算等方面的能力。

“龟兔赛跑”问题

龟兔赛跑最早出自《伊索寓言》中的“乌龟与野兔”故事。该书相传为公元前六世纪古希腊被释放奴隶伊索编著,收录了以各类动物为主角的寓言故事357篇。这个故事可谓家喻户晓、中外皆知,它告诫人们谦虚勤勉将获成功,骄傲自大必定失败。

后人将这个寓言演绎成了一个逻辑悖论:如果乌龟先爬出一段距离,然后再让兔子去追,那么,不管兔子跑多快,它永远也追不上乌龟。古希腊的哲学家提出过一个著名的悖论——芝诺的乌龟,也被称为“芝诺悖论”,只不过它把“龟兔赛跑”里的兔子换成了古希腊神话中善于跑步的神明阿基里斯。在芝诺的问题中,阿基里斯永远追不上一只正常爬行的乌龟。

逻辑推理证明步骤如下:假设阿基里斯跑步的速度是每秒10米,乌龟爬行的速度是每秒1米,阿基里斯让乌龟先爬100米再出发追赶;当他跑完100米后,乌龟已往前爬了10米;阿基里斯再往前追赶10米后,乌龟又向前爬行了1米……如此循环下去,无论阿基里斯怎么追赶,他都无法追赶上乌龟,因为乌龟总会制造出在阿基里斯前面的无数个新起点。实际情况当然不是这样,我们由此可以发现形式逻辑存在的缺陷。

实际上,根据高等数学理论,在“龟兔赛跑”问题中,兔子与乌龟之间的起始距离是有限的,它们之间的距离无限缩小时,按照极限的定义,这个距离最终将等于零,因而兔、龟就会在某一时刻处在同一起跑点上,兔子和阿基里斯自然很快就追上乌龟了。

“兔子数列”问题

“兔子数列”又称斐波那契数列,它由13世纪意大利数学家斐波那契提出,这个数列因以兔子繁殖为例而引入,故又被称为“兔子数列”。

斐波那契的问题是:通常,兔子出生两个月后就有繁殖能力,之后,一对雌雄兔子每个月就能生出一对小兔子来(假设也是一雌一雄);如果所有的兔子都不死,那么一年以后,可以繁殖出多少对兔子?按照上述假设,一年也即12个月里,经繁殖后每月拥有的兔子数量(单位:对)分别是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144。据此,斐波那契数列的通项公式可以如下定义:F(1)=1;F(2)=1;F(3)=2;F(4)=3……F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。该数列有两个明显特点:一是从第三项开始,每一项的数字都等于前两项的数字之和;二是当数列的个数趋向于无穷大时,后一项与前一项数字比值的小数部分就越来越逼近黄金分割比0.618。因此,斐波那契数列又被称作黄金分割数列。

该数列在自然界里多有体现。比如,树木新生的枝条往往需要“休息”一段时间才能萌发新枝,一株树木各个年份生长出来的枝桠数,便构成了斐波那契数列。在现代物理、结构化学等领域,斐波那契数列也有直接的应用。1963年,美国数学会创办了《斐波那契数列季刊》数学杂志,专门用于刊载这方面的研究成果。

没想到,小小的一只兔子,竟和数学有着这么深的渊源。兔年将至,我们可得好好学习数学啰!古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过“万物皆数”,中国古代周公曾曰“大哉言数”,有感于斯,填《浪淘沙令》词一首,以表情怀:“辞旧握新年,思绪翩跹。舞文玉兔竞佳篇。锦上添花吸眼阅,选料当鲜。//算术悉心研,典故重编。逻辑数列理推连。极限方程欣解惑,学海无边。”

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